Teorema de la Divergencia

Teorema de la Divergencia para Integrales de Superficie

Antes de adentrarnos en el teorema, haremos un recuento de los antecedentes necesarios para poder comprender su forma de aplicación y los componentes que participan.

Integral de Superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie. 

Definición:

Sea $S$ una superficie de ecuaciones $z=g\left (x,y \right)$ y $R$ es la proyección sobre el plano $XY$, cuya parametrización de la superficie $S$ es: $\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\overrightarrow{i}+y(u,v)\overrightarrow{j}+z(u,v)\overrightarrow{k}$ y sea f una función continua $S$ entonces la integral de superficie de $f$ sobre $S$ es:

$$\iint_{S}^{}f(x,y,z)dS=\iint_{R}^{}f(x,y,g(x,y))\left \| \overrightarrow{g_{x}} \times{} \overrightarrow{g_{y}}  \right \|dxdy$$

$$ó$$

$$\iint_{S}^{}f(x,y,z)dS=\iint_{R}^{}f(\overrightarrow{r}(u,v))\left \| \overrightarrow{r_{u}}\times{} \overrightarrow{r_{v}}  \right \|dudv$$ 

Gradiente de una Función Escalar

Definición: 

Sea $f(x,y,z)$ una función escalar; al gradiente de la función escalar $f(x,y,z)$ denotaremos por $grad(f)$, y es el vector definido por:

$$grad(f)=\frac{\partial f }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f }{\partial x}\overrightarrow{j}+\frac{\partial f }{\partial x}\overrightarrow{k}$$

El Operador $\triangledown$

El operador vectorial diferencial es dada por:

$$\triangledown=\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{j}+\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{k}$$

El operador vectorial diferencial no es un vector, sino es un operador, sin embargo puede considerarse como un vector simbólico. 

• Si $f(x,y,z)$ es un campo escalar, entonces $f \triangledown$ es un operador, mientras que $\triangledown f$ (operador antes del campo escalar) da la importante función vectorial llamado gradiente.
• Si $\overrightarrow{F}$ es una funcion vectorial diferenciable, entonces $\overrightarrow{F} . \triangledown$ y   $\overrightarrow{F} \times{} \triangledown$ son operadores, mientras que $\triangledown . \overrightarrow{F}$ y   $\triangledown\times{}\overrightarrow{F}$ da importantes funciones escalares y vectoriales respectivamente.

Vector Normal y Orientación de una Superficie

Definición:

Una superficie es "orientable" si se puede definir en todo punto de S que no este en la frontera de un vector normal unitario $\overrightarrow{N}$ de modo tal que los vectores varíen de forma continua sobre la superficie $S$.

Una superficie orientable $S$ tiene dos caras distintas, orientar la superficie consiste en escoger uno de los dos posibles vectores normales unitarios.

Observaciones:

• Si $S$ es una superficie cerrada, tal como una esfera, se suele escoger como vector normal unitario $\overrightarrow{N}$ el que apunta hacia afuera.
• Las superficies mas comunes esfera, elipsoide, paraboloide y planos, son orientables.

En una superficie orientable el vector gradiente proporciona un método conveniente para hallar un vector unitario para una superficie orientable $S$ dada por $z=f(x,y)$, sea $F(x,y,z)=z-f(x,y)$, entonces $S$ admite las dos orientaciones asociadas a los dos vectores normales unitarios. 

Normal unitario hacia arriba:

$$\overrightarrow{N}=\frac{\triangledown F(x,y,z)}{\left \| \triangledown F(x,y,z) \right \|}=\frac{-f_{x}(x,y)\overrightarrow{i}-f_{y}(x,y)\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}(x,y)+f_{y}^{2}(x,y)}}$$ 

Normal unitario hacia abajo:

$$\overrightarrow{N}=-\frac{\triangledown F(x,y,z)}{\left \| \triangledown F(x,y,z) \right \|}=\frac{f_{x}(x,y)\overrightarrow{i}+f_{y}(x,y)\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}(x,y)+f_{y}^{2}(x,y)}}$$

Fuente: Análisis Matemático III de Eduardo Espinoza Ramos, pagina 856.

Divergencia de una Función Vectorial

Si una función vectorial es $\overrightarrow{F}=(f_{1}, f_{2}, f_{3})$, donde $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ son funciones escalares, entonces el producto escalar (producto punto) de la función vectorial $\overrightarrow{F}$ y el vector símbolo \triangledown es decir: $\triangledown . \overrightarrow{F}$ se denomina la divergencia de la funcion vectorial y se denota por $div(\overrightarrow{F})=\triangledown . \overrightarrow{F}$ es decir:

$$div(\overrightarrow{F})=\triangledown . \overrightarrow{F}=div(\overrightarrow{F})=\frac{\partial f_{1} }{\partial x}+\frac{\partial f_{2} }{\partial x}+\frac{\partial f_{3} }{\partial x}$$

Teorema de la Divergencia

El teorema de la divergencia establece que, en condiciones adecuadas, la integral triple $\iiint_{R}div(\overrightarrow{F})dv$  es igual a la integral doble $\iint_{S}\overrightarrow{F}.\overrightarrow{N}ds$, donde $\overrightarrow{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\overrightarrow{i}+Q(x,y,z)\overrightarrow{j}+R(x,y,z)\overrightarrow{k}$ con P,Q y R funciones continuas en $(x,y,z)$ que tiene derivadas parciales $\frac{\partial P }{\partial x}+\frac{\partial Q }{\partial x}+\frac{\partial R }{\partial x}$ de primer orden continuas.

Definición:

Sea $D$ una región solida limitada por una superficie cerrada $S$ orientada por un vector normal unitario dirigido al exterior de $D$.

Si $\overrightarrow{F}$ es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en D, entonces:

$$\iint_{S}\overrightarrow{F}.\overrightarrow{N}ds=\iiint_{R}div(\overrightarrow{F})dv$$

Aplicación del Teorema de la Divergencia

Citaremos un ejercicio de aplicación del teorema de divergencia para la resolución de integrales de superficie:

Bibliografía:

Espinoza Ramos, E. (2000). Análisis Matemático III (Tercera ed.). Lima.